Травма однозначно относится к несчастному случаю на производстве. Из вашей информации (Вопроса) не совсем понятны некоторые моменты, например: страхование работника, кто должен посыпать дорожки песком, и т.п. Участковый в принципе прав, он выполнил свою работу, это на классификации данного несчастного случая не влияет. Самое большое что может комиссия по расследованию несчастного случая, это установить степень вины пострадавшего в процентах, но даже если они установят ее 100%, то выплаты по больничному листу он лишится только на 25%.
По обуви. Если он ходил в своей, то ему должны были на это указать, в том числе провести внеплановый инструктаж. Если этого не было, то с их стороны, это – недостаточный контроль. Термин «Неосторожность» в акт формы Н – 1 вписан быть не может, так как этого нет в ТК РФ.